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抛物线z = 4

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在xOy平面上找到抛物面z = 4-x-y的区域
在表面2x + 3y + z = 47和表面x + 2y = z(-2,1,6)的交点处找到切线和法线平面。
解:F(x,y,z)= 2x + 3y + z-47 = 0(1)Q(x,y,z)= x + 2y-z = 0(2)点(-2,1)6)部分微分:Fx = 4x = -8; Fy = 3; Fz = 2z = 12; Qx = 2x = -4; Qy = 4y = 4; Qz = -1;点(-2,1 of 6)正切方程式)是(x + 2)L =(x-1)m =(z-6)n。
(3)
交点的法线平面(-2,1,6)如下。L(x + 2)+ m(y-1)+ n(x-6)= 0(4);其中L =“#312”#= -3-48 = -51; m =“#12-8“#= -48-8 = -56; n =”# - 83“#= - 32 + 12 = -20”#4-1“#”#-1-4“#”# - 44“#替换(3)正切方程是(x +2)51 =(x-1)56 =(z-6)20;替换(4)部分的公式是51(x + 2)+56(y-1)+20(z-6)= 0,所以51x + 56y + 20z-74 = 0。
2)
给函数z = f(x,υ)一个二阶连续偏导数。在这里,找到解决方案zxy与υ= xy。zx = fx + y(fυ); zxy = x(fxυ)+fυ+ xy(fυ); 3)
使用格林公式计算[L]∮(xycosx + 2xysinx-ye ^ x)dx +(xsinx-2ye ^ x)dy。其中L沿着整排恒星x ^(23)+。并且^(23)= a ^(23)(a0)逆时针。
解:P = xycosx + 2xysinx-ye ^ x; Py = xcosx + 2xsinx-2ye ^ x; Q = xsinx-2ye ^ x; Qx = 2xsinx + xcosx-2ye ^ x = Py; Py = Qy,这是积分和routeNothing
起点(-a,0),终点(a,0);此时,y = 0,dy = 0。
因此,[L]∮(xycosx + 2xysinx-ye ^ x)dx +(xsinx-2ye ^ x)dy = 0。
综合问题1。
使用拉格朗日乘数来找到抛物面上的点z = x + y最小化到平面的距离x + 2y-2z = 9:抛物面点z = x + y P由于距离x + 2y-2z-9 = 0到(x,y,z)平面是S,S =“#x + 2y-2z-9”#√(1 + 4 + 4)=(13)“#X + 2y-2z-9”#在条件zxy = 0的限制下,现在需要S的最小值。
函数F(x,y,z)=(13)“#x + 2y-2z-9”#+λ(z-x-y); Fx =13-2λx= 0。
(1); Fy =(23)-2λy= 0
(2); Fz =(23)+λ= 0
(3)λ=( - 23)-23;(1)取代x = -14; y = -12取代(2); z = 116 + 14 = 516。
因此,Smin =(13)“# - 14-1-(58)-9”#= 298。
2)
半径为10米的圆形水池,水池底部的形状是未知的,并且测量从水面到圆形水池的水深h以满足比率h = 1(1 + r)米。池中的水量。
解决方案:建立一个坐标系,池的水面中心为坐标原点,垂直线为y轴,径向为x轴。
在该坐标系中,水深y = 1(1 + x);(0“fx”f5); 1 + x = 1y; x =(1y)-1](126“fy”f1)Q =[126.1]π∫xdy+25π×(126)=[126.1]π∫[(1y)-1]dy +(2526)π=π(lny-y)[126.1]+(2526)π=π[-1-ln(126)+126]+(2526)π=πln26= 10。
24米



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